Mellinova transformace - Mellin transform

v matematika, Mellinova transformace je integrální transformace to lze považovat za multiplikativní verze oboustranná Laplaceova transformace. Tato integrální transformace úzce souvisí s teorií Dirichletova řada a isoften použitý v teorie čísel, matematická statistika a teorie asymptotické expanze; úzce souvisí s Laplaceova transformace a Fourierova transformace a teorie funkce gama a spojenecké speciální funkce.

Mellinova transformace funkce F je

${ displaystyle left {{ mathcal {M}} f right } (s) = varphi (s) = int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} f (x ) , dx.}$

Inverzní transformace je

${ displaystyle left {{ mathcal {M}} ^ {- 1} varphi right } (x) = f (x) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} x ^ {- s} varphi (s) , ds.}$

Zápis znamená, že se jedná o a linka integrální převzato svislou čarou v komplexní rovině, jejíž skutečná část C je svévolné, pokud splňuje určité podmínky. Podmínky, za kterých je tato inverze platná, jsou uvedeny v Mellinova věta o inverzi.

Transformace je pojmenována po Finština matematik Hjalmar Mellin.

Vztah k jiným transformacím

The oboustranná Laplaceova transformace mohou být definovány v podmínkách Mellintransformu

${ displaystyle left {{ mathcal {B}} f right } (s) = left {{ mathcal {M}} f (- ln x) right } (s)}$

a naopak můžeme získat Mellinovu transformaci z oboustranné Laplaceovy transformace

${ displaystyle left {{ mathcal {M}} f right } (s) = left {{ mathcal {B}} f (e ^ {- x}) right } (s) .}$

Mellinovu transformaci lze považovat za integraci pomocí jádra X^s s ohledem na multiplikativní Haarovo opatření,${ displaystyle { frac {dx} {x}}}$, což je neměnný pod dilatací ${ displaystyle x mapsto sekera}$, aby${ displaystyle { frac {d (sekera)} {sekera}} = { frac {dx} {x}};}$ oboustranná Laplaceova transformace se integruje s ohledem na aditivní Haarovu míru ${ displaystyle dx}$, což je neměnný překlad, takže ${ displaystyle d (x + a) = dx}$.

Můžeme také definovat Fourierova transformace pokud jde o Mellinovu transformaci a naopak; z hlediska Mellinovy ​​transformace a oboustranné Laplaceovy transformace definované výše

${ displaystyle left {{ mathcal {F}} f right } (- s) = left {{ mathcal {B}} f right } (- is) = left {{ mathcal {M}} f (- ln x) doprava } (- je) .}$

Můžeme také obrátit proces a získat

${ displaystyle left {{ mathcal {M}} f right } (s) = left {{ mathcal {B}} f (e ^ {- x}) right } (s) = left {{ mathcal {F}} f (e ^ {- x}) right } (- is) .}$

Mellinova transformace také spojuje Newtonova řada nebo binomická transformace společně s Poissonova generující funkce, prostřednictvím Poisson – Mellin – Newtonův cyklus.

Mellinovu transformaci lze také považovat za Gelfandova transformace pro konvoluční algebra z místně kompaktní abelianská skupina kladných reálných čísel s násobením.

Příklady

Cahen – Mellinův integrál

Mellinova transformace funkce ${ displaystyle f (x) = e ^ {- x}}$ je

${ displaystyle Gamma (s) = int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} dx}$

kde ${ Displaystyle Gama (y)}$ je funkce gama. ${ Displaystyle Gama (y)}$ je meromorfní funkce s jednoduchým póly na ${ displaystyle z = 0, -1, -2, tečky}$.^[1] Proto, ${ Displaystyle Gama (y)}$ je analytický pro ${ displaystyle Re (s)> 0}$. Tak, nechat ${ displaystyle c> 0}$ a ${ displaystyle y ^ {- s}}$ na hlavní větev dává inverzní transformace

${ displaystyle e ^ {- y} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} gama (y) y ^ {- s} ; ds}$.

Tento integrál je znám jako Cahen – Mellinův integrál.^[2]

Polynomiální funkce

Od té doby ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {a} dx}$ není konvergentní pro žádnou hodnotu ${ displaystyle a in mathbb {R}}$, Mellinova transformace není definována pro polynomiální funkce definované na celé kladné reálné ose. Definováním nuly v různých částech skutečné osy je však možné provést Mellinovu transformaci. Například pokud

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} x ^ {a} & x <1, 0 & x> 1, end {cases}}}$

pak

${ displaystyle { mathcal {M}} f (s) = int _ {0} ^ {1} x ^ {s-1} x ^ {a} dx = int _ {0} ^ {1} x ^ {s + a-1} dx = { frac {1} {s + a}}.}$

Tím pádem ${ displaystyle { mathcal {M}} f (s)}$ má jednoduchý pól v ${ displaystyle s = -a}$ a je tedy definován pro ${ displaystyle Re (s)> - a}$. Podobně, pokud

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} 0 & x <1, x ^ {b} & x> 1, end {cases}}}$

pak

${ displaystyle { mathcal {M}} f (s) = int _ {1} ^ { infty} x ^ {s-1} x ^ {b} dx = int _ {1} ^ { infty } x ^ {s + b-1} dx = - { frac {1} {s + b}}.}$

Tím pádem ${ displaystyle { mathcal {M}} f (s)}$ má jednoduchý pól v ${ displaystyle s = -b}$ a je tedy definován pro ${ displaystyle Re (s) <- b}$.

Exponenciální funkce

Pro ${ displaystyle p> 0}$, nechť ${ displaystyle f (x) = e ^ {- px}}$. Pak

${ displaystyle { mathcal {M}} f (s) = int _ {0} ^ { infty} x ^ {s} e ^ {- px} { frac {dx} {x}} = int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {u} {p}} right) ^ {s} e ^ {- u} { frac {du} {u}} = { frac { 1} {p ^ {s}}} int _ {0} ^ { infty} u ^ {s} e ^ {- u} { frac {du} {u}} = { frac {1} { p ^ {s}}} Gama (y).}$

Funkce Zeta

Je možné použít Mellinovu transformaci k vytvoření jednoho ze základních vzorců pro Funkce Riemann zeta, ${ displaystyle zeta (s)}$. Nechat ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {e ^ {x} -1}}}$. Pak

${ displaystyle { mathcal {M}} f (s) = int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} { frac {1} {e ^ {x} -1}} dx = int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} { frac {e ^ {- x}} {1-e ^ {- x}}} dx = int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} sum _ {n = 1} ^ { infty} e ^ {- nx} dx = sum _ {n = 1} ^ { infty} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {s} e ^ {- nx} { frac {dx} {x}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}} Gama (y) = Gama (y) zeta (y).}$

Tím pádem,

${ displaystyle zeta (s) = { frac {1} { gama (y)}} int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} { frac {1} {e ^ {x} -1}} dx.}$

Zobecněný Gaussian

Pro ${ displaystyle p> 0}$, nechť ${ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ {p}}}$ (tj. ${ displaystyle f}$ je zobecněné Gaussovo rozdělení bez měřítka.) Pak

${ displaystyle { mathcal {M}} f (s) = int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} e ^ {- x ^ {p}} dx = int _ {0 } ^ { infty} x ^ {p-1} x ^ {sp} e ^ {- x ^ {p}} dx = int _ {0} ^ { infty} x ^ {p-1} (x ^ {p}) ^ {s / p-1} e ^ {- x ^ {p}} dx = { frac {1} {p}} int _ {0} ^ { infty} u ^ {s / p-1} e ^ {- u} du = { frac { Gamma (s / p)} {p}}.}$

Zejména nastavení ${ displaystyle s = 1}$ obnovuje následující formu funkce gama

${ displaystyle Gamma left (1 + { frac {1} {p}} right) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x ^ {p}} dx.}$

Základní pás

Pro ${ displaystyle alpha, beta in mathbb {R}}$, nechte otevřený proužek ${ displaystyle langle alpha, beta rangle}$ být definován jako vše ${ displaystyle s in mathbb {C}}$ takhle ${ displaystyle s = sigma + it}$ s ${ displaystyle alpha < sigma < beta.}$ The základní pás z ${ displaystyle { mathcal {M}} f (s)}$ je definován jako největší otevřený pruh, na kterém je definován. Například pro ${ displaystyle a> b}$ základní pás

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} x ^ {a} & x <1, x ^ {b} & x> 1, end {cases}}}$

je ${ displaystyle langle -a, -b rangle.}$ Jak je vidět v tomto příkladu, asymptotika funkce jako ${ displaystyle x až 0 ^ {+}}$ definujte levý koncový bod jeho základního pásu a asymptotiku funkce jako ${ displaystyle x až + infty}$ definovat jeho pravý koncový bod. Abychom to shrnuli pomocí Velká O notace, pokud ${ displaystyle f}$ je ${ displaystyle O (x ^ {a})}$ tak jako ${ displaystyle x až 0 ^ {+}}$ a ${ displaystyle O (x ^ {b})}$ tak jako ${ displaystyle x až + infty,}$ pak ${ displaystyle { mathcal {M}} f (s)}$ je definována v pruhu ${ displaystyle langle -a, -b rangle.}$^[3]

Tuto aplikaci lze vidět ve funkci gama, ${ Displaystyle Gama (y).}$ Od té doby ${ displaystyle f (x) = e ^ {- x}}$ je ${ displaystyle O (0)}$ tak jako ${ displaystyle x až 0 ^ {+}}$ a ${ displaystyle O (x ^ {k})}$ pro všechny ${ displaystyle k,}$ pak ${ displaystyle Gamma (s) = { mathcal {M}} f (s)}$ by mělo být definováno v pruhu ${ displaystyle langle 0, + infty rangle,}$ což to potvrzuje ${ Displaystyle Gama (y)}$ je analytický pro ${ displaystyle Re (s)> 0.}$

Jako na izometrii L² mezery

Ve studii o Hilbertovy prostory, Mellinova transformace je často představována trochu jiným způsobem. Pro funkce v ${ displaystyle L ^ {2} (0, infty)}$ (vidět LP prostor ) základní pás vždy obsahuje ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} + i mathbb {R}}$, takže můžeme definovat a lineární operátor ${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}}}$ tak jako

${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}} dvojtečka L ^ {2} (0, infty) do L ^ {2} (- infty, infty),}$

${ displaystyle {{ tilde { mathcal {M}}} f } (s): = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {0} ^ { infty } x ^ {- { frac {1} {2}} + je} f (x) , dx.}$

Jinými slovy, nastavili jsme

${ displaystyle {{ tilde { mathcal {M}}} f } (s): = { tfrac {1} { sqrt {2 pi}}} {{mathcal {M}} f } ({ tfrac {1} {2}} + je).}$

Tento operátor je obvykle označen jednoduše ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ a nazval "Mellinovu transformaci", ale ${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}}}$ zde se používá k odlišení od definice použité jinde v tomto článku. The Mellinova věta o inverzi pak to ukazuje ${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}}}$ je invertibilní s inverzí

${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}} ^ {- 1} dvojtečka L ^ {2} (- infty, infty) do L ^ {2} (0, infty),}$

${ displaystyle {{ tilde { mathcal {M}}} ^ {- 1} varphi } (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {- { frac {1} {2}} - je} varphi (s) , ds.}$

Tento operátor je dále izometrie, to znamená ${ displaystyle | { tilde { mathcal {M}}} f | _ {L ^ {2} (- infty, infty)} = | f | _ {L ^ {2} (0 , infty)}}$ pro všechny ${ displaystyle f v L ^ {2} (0, infty)}$ (to vysvětluje, proč faktor ${ displaystyle 1 / { sqrt {2 pi}}}$ byl použit).

V teorii pravděpodobnosti

V teorii pravděpodobnosti je Mellinova transformace základním nástrojem při studiu distribucí produktů náhodných proměnných.^[4] Li X je náhodná proměnná a X⁺ = max {X,0} označuje jeho kladnou část, zatímco X⁻ = max {-X,0} je jeho negativní část, pak Mellinova transformace z X je definován jako^[5]

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {X} (s) = int _ {0} ^ { infty} x ^ {s} dF_ {X ^ {+}} (x) + gamma int _ {0} ^ { infty} x ^ {s} dF_ {X ^ {-}} (x),}$

kde y je formální neurčitý s y² = 1. Tato transformace existuje pro všechny s v nějakém komplexním pásu D = {s : A ≤ Re (s) ≤ b} , kde A ≤ 0 ≤ b.^[5]

Mellinova transformace ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {M}} _ {X} (it)}$ náhodné proměnné X jednoznačně určuje jeho distribuční funkci F_X.^[5] Význam Mellinovy ​​transformace v teorii pravděpodobnosti spočívá ve skutečnosti, že pokud X a Y jsou dvě nezávislé náhodné proměnné, pak se Mellinova transformace jejich produktů rovná součinu Mellinových transformací X a Y:^[6]

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {XY} (s) = { mathcal {M}} _ {X} (s) { mathcal {M}} _ {Y} (s)}$

Problémy s Laplacian ve válcovém souřadnicovém systému

V Laplacian ve válcových souřadnicích v obecné dimenzi (ortogonální souřadnice s jedním úhlem a jedním poloměrem a zbývající délky) vždy existuje termín:

${ displaystyle { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { frac { částečné f} { částečné r}} vpravo) = f_ { rr} + { frac {f_ {r}} {r}}}$

Například ve 2-D polárních souřadnicích je laplacian:

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { frac { částečné f} { částečné r }} right) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné theta ^ {2}}}}$

a ve 3-D válcových souřadnicích je laplacian,

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { frac { částečné f} { částečné r }} vpravo) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné varphi ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}}.}$

Tento termín lze snadno zacházet^{[je zapotřebí objasnění ]} s Mellinovou transformací,^[7] od té doby:

${ displaystyle { mathcal {M}} vlevo (r ^ {2} f_ {rr} + rf_ {r}, r to s right) = s ^ {2} { mathcal {M}} vlevo (f, r to s right) = s ^ {2} F}$

Například 2-D Laplaceova rovnice v polárních souřadnicích je PDE ve dvou proměnných:

${ displaystyle r ^ {2} f_ {rr} + rf_ {r} + f _ { theta theta} = 0}$

a násobením:

${ displaystyle { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { frac { částečné f} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné theta ^ {2}}} = 0}$

s Mellinovou transformací v okruhu se stává jednoduchým harmonický oscilátor:

${ displaystyle F _ { theta theta} + s ^ {2} F = 0}$

s obecným řešením:

${ displaystyle F (s, theta) = C_ {1} (s) cos (s theta) + C_ {2} (s) sin (s theta)}$

Nyní vložme například nějaký jednoduchý klín okrajové podmínky k původní Laplaceově rovnici:

${ displaystyle f (r, - theta _ {0}) = a (r), quad f (r, theta _ {0}) = b (r)}$

pro Mellinovu transformaci jsou obzvláště jednoduché:

${ displaystyle F (s, - theta _ {0}) = A (s), quad F (s, theta _ {0}) = B (s)}$

Tyto podmínky kladené na řešení jej specifikují na:

${ displaystyle F (s, theta) = A (s) { frac { sin (s ( theta _ {0} - theta))} { sin (2 theta _ {0} s)} } + B (s) { frac { sin (s ( theta _ {0} + theta))} { sin (2 theta _ {0} s)}}}$

Nyní pomocí konvoluční věty pro Mellinovu transformaci lze řešení v Mellinově doméně invertovat:

${ displaystyle f (r, theta) = { frac {r ^ {m} cos (m theta)} {2 theta _ {0}}} int _ {0} ^ { infty} vlevo {{ frac {a (x)} {x ^ {2m} + 2r ^ {m} x ^ {m} sin (m theta) + r ^ {2m}}} + { frac {b (x)} {x ^ {2m} -2r ^ {m} x ^ {m} sin (m theta) + r ^ {2m}}} doprava } x ^ {m-1} , dx }$

kde byla použita následující relace inverzní transformace:

${ displaystyle { mathcal {M}} ^ {- 1} left ({ frac { sin (s varphi)} { sin (2 theta _ {0} s)}}; s až r right) = { frac {1} {2 theta _ {0}}} { frac {r ^ {m} sin (m varphi)} {1 + 2r ^ {m} cos (m varphi) + r ^ {2m}}}}$

kde ${ displaystyle m = { frac { pi} {2 theta _ {0}}}}$.

Aplikace

Mellinova transformace je široce používána v počítačové vědě pro analýzu algoritmů^{[je zapotřebí objasnění ]} kvůli jeho škálová invariance vlastnictví. Velikost Mellinovy ​​transformace škálované funkce je totožná s velikostí původní funkce pro čistě imaginární vstupy. Tato vlastnost invariance škálování je analogická vlastnosti Fourierovy transformace invariance posunu. Velikost Fourierovy transformace časově posunuté funkce je totožná s velikostí Fourierovy transformace původní funkce.

Tato vlastnost je užitečná v rozpoznávání obrazu. Obraz objektu lze snadno změnit, když se objekt pohybuje směrem k fotoaparátu nebo od něj.

v kvantová mechanika a hlavně kvantová teorie pole, Fourierův prostor je nesmírně užitečné a široce se používá, protože hybnost a poloha jsou Fourierovy transformace navzájem (například Feynmanovy diagramy jsou mnohem snadněji vypočítány v prostoru hybnosti). V roce 2011, A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan, João Penedones, Suvrat Raju, a Balt C. van Rees ukázal, že Mellinův prostor plní obdobnou roli v kontextu Korespondence AdS / CFT.^[8][9][10]

Příklady

• Perronův vzorec popisuje inverzní Mellinovu transformaci aplikovanou na a Dirichletova řada.
• Mellinova transformace se používá při analýze funkce počítání prvočísel a vyskytuje se v diskusích o Funkce Riemann zeta.
• Inverzní Mellinovy ​​transformace se běžně vyskytují v Riesz znamená.
• Mellinovu transformaci lze použít v audio-time-scale-pitch modifikace^{[Citace je zapotřebí ]}.

Viz také

• Mellinova věta o inverzi
• Perronův vzorec
• Ramanujanova hlavní věta

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellinovy ​​transformace a asymptotika: harmonické součty.
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, diskusní skupina es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (ve španělštině).
• Metody Mellinovy ​​transformace, Digitální knihovna matematických funkcí, 2011-08-29, Národní institut pro standardy a technologie
• Antonio De Sena a Davide Rocchesso, RYCHLÁ MELLINOVÁ TRANSFORMA S APLIKACÍMI V DAFX